已知圆C:（x-1）^2+（y-2）^2=25

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/07/04 12:13:35
已知圆C：（x-1)^2+(y-2)^2=25，直线 L ：（2m+1）x+（m+1）y=7m+4（m∈R）
1）求证：不论m取什么实数时，直线 L与圆恒相交
2）求直线 L与圆C截得的线段的最短长度以及此时直线 L 的方程。

1）证：圆(x-1)^2+(y-2)^2=25的半径R=5.圆心为C(1,2)
直线方程(2m+1)x+(m+1)y=7m+4就是(x+y-4)+m(2x+y-7)=0,由于方程组
x+y-4=0,2x+y-7=0的解是x=3,y=1.
所以对于一切实数m，x=3，y=1都是直线方程的解，就是说无论m为何实数m所确定的直线L都经过点A（3，1）
由于(3-1)^2+(1-2)^2=5<25,所以点A到圆心C的距离|AC|<5=R，因而点A（3,1)在圆C内，所以不论m为何值直线L都与圆相交。
2）经过圆C内的定点A的弦中，以经过点A并且垂直于半径CA的弦为最短，由于k（CA）=(1-2)/(3-1)=-1/2，所以k=2
因此最短弦的方程是y-1=2(x-3)--->2x-y-5=0.

思路：圆心到直线的距离d的最大值小于等于半径5就可以证明恒相交
圆心到直线距离最大时，截得线段最短。